Nafiun.com

Jurnal, Artikel Ilmiah, Referensi, Sains, Teknologi, Materi Pelajaran, Cerita Rakyat, Dongeng.

Tuesday, June 3, 2014

Pengertian Nilai Stasioner Fungsi, Contoh Soal, Rumus, Cara Menentukan dan Menghitung, Pembahasan, Matematika

Pengertian Nilai Stasioner Fungsi, Contoh Soal, Rumus, Cara Menentukan dan Menghitung, Pembahasan, Matematika - Berikut ini adalah materi lengkapnya :

1. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi

Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4 adalah f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)2 + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.
grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4
Gambar 1. grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4.
Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.

Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.

Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

Definisi 1 :

Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Contoh Soal 1 :

a. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x2 – 6x + 5.
b. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2.

Pembahasan :

a. f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6

Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :

f '(x) = 0
6x – 6 = 0
x = 1.

f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2

b. f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2
f '(x) = 3x2 + 8x – 3
untuk f '(x) = 0
3x2 + 8x – 3 = 0
(3x – 1) (x + 3) = 0
x = 1/3 atau x = –3

 f ' (1/3) = 0 dan f '(–3) = 0

sehingga untuk x = 1/3 diperoleh :


untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2  adalah f (1/3) =  dan f(–3) = 2.

Titik  dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.

Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '(x) di bawah.
 interval f '(x)
Untuk mengetahui nilai f '(x) pada selang x < –3, –3 < x < 1/3, dan x > 1/3, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada f '(x) sehingga diperoleh

• untuk x = –4, f '(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk x < –3;
• untuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval –3 < x < 1/3;
• untuk x = 1, f '(1) = 8 > 0 sehingga f(x) naik untuk x > 1/3.

nilai f '(x) dapat digambarkan pada selang interval
Jadi, nilai f '(x) dapat digambarkan pada selang interval di atas.

Dari gambar untuk selang interval tersebut :

• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,
• titik  adalah titik minimum.

2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi


Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x3 – 3x2 dengan f '(x) = 3x2 – 6x. Untuk f '(x) = 0 diperoleh titik-titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua.

Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut.

• Jika f "(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik maksimum lokal grafik fungsi f(x).
• Jika f "(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik fungsi f(x).
• Jika f "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertama.

Contoh Soal 2 :

Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 dan f(x) = x4 – 4x3 dengan menggunakan uji turunan kedua.

Penyelesaian :

• Untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f '(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3)
f "(x) = 6x – 12

Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu :

3(x – 1) (x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3

Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga :

f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5
f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1

• Untuk fungsi f(x) = f(x) = x4 – 4x3
f '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3)
f "(x) = 12x2 – 24x

Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga :

f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.

Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama.

Sekarang, amati diagram di bawah ini.
diagram f "(x)
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.

Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?

Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.

Definisi 2 :

f cekung ke atas pada [a, b] jika f "(x) > 0 dan f cekung ke bawah jika f "(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.

Anda sekarang sudah mengetahui Nilai Stasioner Fungsi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

Share on Facebook
Share on Twitter
Share on Google+
Tags :

Related : Pengertian Nilai Stasioner Fungsi, Contoh Soal, Rumus, Cara Menentukan dan Menghitung, Pembahasan, Matematika

1 komentar:

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.